|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Omtrek
hallo
In ons boek staat een bewijs voor de stelling van Lagrange,
en om dat te bewijzen gebruikt hij een hulpfunctie F,
F(x)=(f(a)-f(b))x + (b-a)f(x) + af(b) - bf(a)
Mijn vraag is nu wat die functie inhoudt en waarom hij die gebruikt?
bedankt
Antwoord
Je hebt een functie f(x) die continu is in het interval [a,b] en afleidbaar is in het interval ]a,b[.
De rechte door de punten van de grafiek (a,f(a)) en (b,f(b)) is (vergelijking van een rechte door twee gegeven punten) :
y - f(a) = (f(b)-f(a))/(b-a).(x-a)
of
g(x) = y = f(a) + (f(b)-f(a))/(b-a).(x-a)
Deze functie g(x) is ook continu en afleidbaar in dit interval want het is een rechte.
De hulpfunctie h(x) is nu het verschil f(x)-g(x).
Deze hulpfunctie is dus ook continu en afleidbaar in dit interval.
Bovendien geldt dat h(a)=h(b) zodat de stelling van Rolle kan toegepast worden. Je kunt dit gemakkelijk aantonen door in h(x), x te vervangen door a en dan door b. Je vindt dan h(a)=0 en h(b)=0.
De hulpfunctie F(x) die je hierboven gebruikt verkrijg je door de functie g(x) te vermenigvuldigen met (b-a).
Dus F(x)=g(x).(b-a)
Ook voor deze F(x) geldt dat F(a)=F(b)=0 zodat de stelling van Rolle kan toegepast worden.
Deze zegt dat er een c Î]a,b[ moet zijn zodat DF(c)=0
Nu is DF(x)=f(a)-f(b) + (b-a).Df(x)
Dus moet er een cÎ]a,b[ zijn zodat DF(c)=f(a)-f(b) + (b-a).Df(c) = 0
waaruit volgt dat
Df(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
